حل فعالیت صفحه 129 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 129 - فعالیت 1 سلام به دانش‌آموزان عزیز! در این تمرین می‌خواهیم یاد بگیریم چطور تعداد چیدمان‌های مختلف حروف را محاسبه کنیم. **تحلیل مسئله:** ما ۷ حرف متمایز داریم و می‌خواهیم با تمام آن‌ها کلمات ۷ حرفی بسازیم. این یعنی می‌خواهیم تمام **جایگشت‌های** ممکن این ۷ شیء را پیدا کنیم. **حل گام به گام:** طبق فرمول جایگشت که در صفحات قبل خواندیم، برای چیدن $n$ شیء متمایز در کنار هم، از **فاکتوریل** استفاده می‌کنیم: $$P(7, 7) = 7!$$ **محاسبه:** $$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$$ پس در مجموع **۵۰۴۰** کلمه مختلف می‌توان ساخت.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 129 - فعالیت 2 در این بخش، هدف ما ساخت کلمات کوتاه‌تر (۳ حرفی) با استفاده از همان ۷ حرف قبلی است. در اینجا تعداد جایگاه‌ها کمتر از تعداد اشیاء است. **حل گام به گام به روش اصل ضرب:** * **جایگاه اول:** چون هنوز هیچ حرفی استفاده نشده، ما هر **۷** انتخاب را داریم. * **جایگاه دوم:** چون تکرار مجاز نیست و یک حرف در جایگاه اول نشسته است، **۶** انتخاب باقی می‌ماند. * **جایگاه سوم:** حالا دو حرف استفاده شده و ما **۵** انتخاب برای جایگاه آخر داریم. **محاسبه نهایی:** طبق اصل ضرب، تعداد کل حالات برابر است با: $$7 \times 6 \times 5 = 210$$ بنابراین می‌توان **۲۱۰** کلمه سه حرفی متمایز ساخت.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 129 - تمرین 3 در این تمرین می‌خواهیم از بین ۹ شیء متمایز، دسته‌های ۴ تایی مرتب بسازیم. **روش حل:** مشابه تمرین قبل، از **اصل ضرب** برای ۴ جایگاه استفاده می‌کنیم: 1. جایگاه اول: ۹ انتخاب 2. جایگاه دوم: ۸ انتخاب 3. جایگاه سوم: ۷ انتخاب 4. جایگاه چهارم: ۶ انتخاب **حاصل‌ضرب:** $$9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$$ پس تعداد جایگشت‌های ۴ تایی از ۹ شیء، برابر با **۳۰۲۴** حالت است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 129 - فعالیت 4 ریاضی‌دان‌ها دوست دارند روابط را کوتاه‌تر بنویسند! بیایید حاصل‌ضرب‌های قبلی را به زبان **فاکتوریل** ترجمه کنیم. **۱. کلمات ۳ حرفی از ۷ حرف (عدد ۲۱۰):** ما ضرب $$7 \times 6 \times 5$$ را داشتیم. برای اینکه آن را به فاکتوریل تبدیل کنیم، صورت و مخرج را در $$(7-3)!$$ یعنی $4!$ ضرب می‌کنیم: $$\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7!}{4!}$$ **۲. کلمات ۴ تایی از ۹ شیء (عدد ۳۰۲۴):** حاصل‌ضرب ما $$9 \times 8 \times 7 \times 6$$ بود. برای تبدیل به فاکتوریل، باید تا عدد ۱ ادامه دهیم و بخش اضافه را در مخرج تقسیم کنیم: $$\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!} = \frac{9!}{5!}$$ **نکته:** دقت کنید که عدد مخرج همیشه از اختلاف تعداد کل اشیاء و تعداد جایگاه‌ها به دست می‌آید ($$n-r$$).

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 129 - فعالیت 5 حالا می‌خواهیم به یک فرمول عمومی برسیم. فرض کنید $n$ تا شیء داریم و می‌خواهیم ۳ تا از آن‌ها را انتخاب کرده و بچینیم. **گام ۱ (اصل ضرب):** * انتخاب اول: $n$ حالت * انتخاب دوم: $n-1$ حالت * انتخاب سوم: $n-2$ حالت حاصل‌ضرب: $$n(n-1)(n-2)$$ **گام ۲ (تبدیل به فاکتوریل):** برای تبدیل این عبارت به کسر فاکتوریل، آن را در $$(n-3)!$$ ضرب و تقسیم می‌کنیم: $$P(n, 3) = \frac{n(n-1)(n-2) \times (n-3)!}{(n-3)!} = \frac{n!}{(n-3)!}$$ این فرمول به ما اجازه می‌دهد بدون رسم جایگاه، تعداد حالات را سریعاً محاسبه کنیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دهم صفحه 129 - فعالیت 6 و حالا نوبت به **فرمول نهایی و طلایی جایگشت** می‌رسد! اگر بخواهیم $r$ شیء را از بین $n$ شیء متمایز انتخاب کرده و کنار هم قرار دهیم، تعداد کل حالات که با نماد $P(n, r)$ نشان داده می‌شود، برابر است با: $$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$ **توضیح علمی:** * **صورت کسر ($n!$):** تمام حالات چیدن $n$ شیء را در نظر می‌گیرد. * **مخرج کسر ($(n-r)!$):** چون ما فقط $r$ جایگاه داریم، حالات مربوط به اشیاء باقی‌مانده که چیده نشده‌اند را از محاسبات حذف می‌کند. **نکته مهم:** این فرمول زمانی استفاده می‌شود که **ترتیب** قرار گرفتن اشیاء برای ما مهم باشد.